Nombres complexes, fonctions rationnelles

Cet ouvrage est une introduction aux nombres complexes, aux polynômes et fractions rationnelles. Il s’adresse essentiellement aux étudiants de première année des Classes Préparatoires aux Grandes Écoles, à ceux de première an¬née de Licence, de D.U.T. et B.T.S., ainsi qu’aux étudiants qui préparent le C.A.P.E.S. de Mathématiques. Il propose à la fois des rappels de cours et des exercices corrigés de façon particulièrement détaillée, classés par thème et par ordre de difficulté croissante. Le lecteur pourra ainsi progresser à son rythme et de façon autonome. Les notions étudiées ici sont fondamentales pour tout lecteur désireux de poursuivre des études scientifiques. Une fois ces notions assimilées, il pourra sans difficulté s’engager dans des études plus avancées.1 Rappels de trigonométrie circulaire1.1 Rappels de cours 1.1.1 Cosinus, sinus et tangente 1.1.2 Formules usuelles de trigonométrie circulaire 1.1.3 Transformation de U(t) = a cos t + b sin t 1.2 Exercices 2 Nombres complexes 2.1 Rappels de cours 2.1.1 Introduction : forme algébrique 2.1.2 Somme et produit 2.1.3 Identités remarquables 2.1.4 Opération de conjugaison 2.1.5 Inverse et quotient 2.1.6 Module 2.1.7 Argument, forme trigonométrique 2.1.8 Forme exponentielle2.1.9 Représentation géométrique des nombres complexes2.1.10 Transformations planes et nombres complexes 2.1.11 Racines n-ièmes 2.1.12 Détermination algébrique des racines carrées 2.1.13 Équation du second degré à coefficients complexes2.2 Exercices 3 Polynômes3.1 Rappels de cours 3.1.1 Introduction 3.1.2 Notion de degré3.1.3 Opérations sur les polynômes et degré 3.1.4 Division suivant les puissances décroissantes 3.1.5 Division suivant les puissances croissantes 3.1.6 Racine, ordre de multiplicité et dérivation 3.1.7 Notion de polynôme irréductible 3.1.8 Factorisation dans C[x]3.1.9 Factorisation dans R[x]3.2 Exercice 4 Fractions rationnelles4.1 Rappels de cours 4.1.1 Introduction 4.1.2 Partie entière 4.1.3 Le théorème d’existence et d’unicité d’une décomposition en éléments simples 4.1.4 Détermination pratique des parties polaires 4.1.5 Détermination pratique des éléments simples de seconde espèce dans R(x)4.2 Exercices